福利彩票的管理机构主要涉及以下部门：

国务院民政部门：

根据《彩票管理条例》规定，民政部负责全国福利彩票的发行管理工作。

地方民政部门：

省（自治区、直辖市）、地、县人民政府的民政部门负责本行政区域内的福利彩票销售额度申报和销售管理工作。

中国福利彩票发行管理中心：

作为民政部直属的公益二类事业单位，负责全国福利彩票的发行管理、制定发行销售发展规划、管理制度、工作规范和技术标准等。

综上所述， 福利彩票的发行和管理主要归属于国务院民政部门及其下属的中国福利彩票发行管理中心，地方民政部门则负责具体的销售管理工作。