旋转矩阵（Rotation matrix）是一个用于描述在三维空间中围绕某一旋转轴旋转向量的数学工具。当我们将一个向量与旋转矩阵相乘时，该向量的方向会发生改变，但其大小（或长度）保持不变。此外，旋转矩阵还保持了向量的“手性”，即不改变从右手坐标系到左手坐标系的转换。
旋转矩阵的分类
旋转矩阵可以分为两大类：
主动旋转：
这是指将向量逆时针围绕旋转轴进行的旋转。
被动旋转：
这是指对坐标轴本身进行的逆时针旋转，它相当于主动旋转的逆操作。
旋转矩阵的数学表示
旋转矩阵通常用3x3的矩阵表示，可以表示为：
$$R = \begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta & 0 \\
\sin \theta & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$$
其中，$\theta$ 是旋转的角度。
旋转矩阵的性质
正交性：
旋转矩阵的列向量和行向量都是单位向量且相互正交。
行列式：
旋转矩阵的行列式等于1。
逆矩阵：
旋转矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵。
旋转矩阵的应用
旋转矩阵在许多领域都有广泛应用，包括：
航空计算：用于描述飞机和航天器的姿态变化。
图像处理：用于图像的旋转和变换。
计算机图形学：用于实现3D图形的旋转和动画效果。
物理模拟：用于模拟物体在三维空间中的运动。
旋转矩阵与四元数
虽然旋转矩阵在描述旋转时非常有效，但有时也会使用四元数来表示旋转，因为四元数可以避免一些数值稳定性和奇点问题。四元数旋转可以通过将旋转矩阵转换为四元数形式来实现。
总之，旋转矩阵是描述三维空间中旋转操作的重要工具，具有广泛的应用价值。