截至当前时间2025年2月9日，湖人队取得的客场连胜记录如下：

四连胜：

在2024年11月16日，湖人队客场以120-115战胜圣安东尼奥马刺队，豪取四连胜。

两连胜：

在2024年12月20日，湖人队客场以113-100击败国王队，取得两连胜。

因此，结合以上信息，湖人队在本赛季的客场连胜记录为 四连胜。